Grethe nació en Montevideo, Uruguay, pero vivió en Hamburgo desde los cinco años. Estudió en la Escuela de Bellas Artes de Paul Düyffcke [de] en la Karlsruher Kunstakademie (primero de 1882 a 1884, y luego nuevamente de 1889 a 1890), así como en la Académie Julian de París de 1884 a 1886. Interrumpió sus estudios por casi un año para emprender un viaje por mar a México en 1888 y 1889. Continuó enseñando en la Karlsruhe Kunstgewerbeschule y la academia allí, y luego, en 1899, en la Kgl. Academia de Bellas Artes de Stuttgart hasta su prematura muerte. Desde 1894, Grethe fue miembro de la Secesión de Múnich y también participó en la fundación de Karlsruher Künstlerbundes en 1896, Stuttgarter Künstlerbundes (Academia Estatal de Bellas Artes de Stuttgart) en 1901 y Verein Württembergischer Kunstfreunde. Hacia el cambio de siglo, Grethe se había vuelto prominente en representaciones del hombre y el mar, así como de costas y puertos. Su estilo artístico se desarrolló desde un compromiso con el realismo moderno al comienzo de su carrera hasta un estilo bastante más impresionista en sus obras posteriores.